Sembolik Mantık

Modern [Sembolik] Mantık

Sembolik mantık, önermeleri sembollerle ifade eder, bu sembollerle işlemler yaparak mantıksal çıkarımları formüle etmeye çalışır.

Mantık biliminin amacı geçerli/şüpheye yer bırakmayan çıkarımlara ulaşmaktır. Formüle ettiği önermeleri denetleyerek geçerli ve geçersiz çıkarımları tasnif eder/ayıklar. Mantıkta denetleme, çıkarımların geçerliliğini belirleme işlemidir.

Mantıksal geçerlilik biçimseldir, içerikle ilgili değildir. Özetle, gündelik dilde var olan önermeleri sembolik dile çevirerek, gündelik kullanımdaki sınırlı anlamının dışına taşır.

Modern mantık, iki değerli mantık, çok değerli mantık, kiplik mantığı, özdeşlik mantığı ve varlık mantığı olmak üzere beş alt guruba ayrılır.

Modern mantığın amacı geçerli çıkarımlara ulaşmaktır.

1- İki Değerli Mantık

Bir önerme ya doğru ya da yanlış olabilir, üçüncü bir olasılık kabul edilemez. İki değerli mantığın temel önermesi budur.

İki değerli mantık, önermeler ve niceleme mantığı olmak üzere iki kategoriye ayrılır.

a) Önermeler Mantığı

Yargı ifade eden cümleler önerme olarak kabul edilir. Önermeler basit (önerme eklemi almamış, tek bir yargı ifade ederler) ve bileşik olmak üzere ikiye ayrılır.

“Ali hastadır” önermesi basit, “Ali hasta değildir” önermesi birleşik bir önermedir. Çünkü ikinci önermede “değil” eklemi kullanılmıştır.

Bileşik önermeler birden fazla basit önermenin birleşmesinden oluşur. Birleşik önermede önermeler (ve, veya, ise, ancak, ancak ve ancak) ekleriyle birbirlerine bağlanır.

Bu eklere önerme eklemleri denir.

Bir önermede birden fazla önerme eklemi kullanılabilir.

Bileşik önermeyi oluşturan yargılar ön ve art bileşenler şeklinde adlandırılır.

Önermenin tümünü etkileyen ekleme ana eklem, önermeleri birbirine bağlanan eklemlere de ana bileşenler denir.

p⇔q / p: ana bileşen

            q: ana bileşen

            ⇔: ana eklem

Önerme Eklemleri

Önerme Eklemi	Sembolü	Kullanımı	Örnek Önerme	Sembolik Mantıkta Kullanımı
Değilleme Eklemi	~	değil	Ateş ıslak değildir	~p
Tümel evetleme eklemi	∧	Ve, ne… ne de, Hem… hem de	Kemal ve Meral yalancıdır	p∧ q
Tikel evetleme eklemi	v	Veya, ya da	Yemekte kaz ya da ördek var.	pvq
Koşul eklemi	⇒	ise	Kemal ise yalancıdır	p⇒q
Karşılıklı koşul Eklemi	⇔	Ancak ve ancak	Kemal ancak ve ancak yalancıdır	p⇔q

Önerme eklemleri basit önermeleri bileşik hale getiren mantık değişmezleridir.

Önermeler mantığında basit önermeler p, q, r, s, t, v, z… gibi önerme sembolleriyle ifade edilirler.

Önermeye izafe edilen doğru değer [D], yanlış değer [Y] sembolüyle gösterilir.

Herhangi bir “p” ve “q” önermesi yeni bir önermenin öncülleri olabilirler:

[p] Politikacı yalan söyler.

[q] Kemal politikacıdır.

[r] Öyleyse Kemal yalancıdır.

P ve q önermeleri sonuç önermesine “o halde”, “öyleyse”, “demek ki” gibi sözcüklerle bağlanırlar.

Bağlayıcı ekler ∴ işaretiyle gösterilecek.

p, q ∴ r

Önermelerde adlar yükleme bağlanır: “Kemal yalancıdır” önermesinde ad olan “kemal” “yalancıdır” yüklemine bağlıdır. Herhangi bir önermede yüklem, yüklendiği ad sayısına göre birli, ikili, üçlü yüklem şeklinde adlandırılır.

Bileşik önermeler ana eklemlerine göre tanımlanırlar.

İçinde önerme eklemi taşıyan önermeler de birden fazla yargı taşıdıklarından bileşiktirler. Bileşik önermeyi meydana getiren önermelerin her birine bileşen denir. Hiçbir bileşeni olmayan önermeler basittir.

Birden fazla bileşik önermeden oluşan önermelerde en son işleme katılan eklem, ana eklemdir.

Ana eklemin karşıladığı önermeler de ana bileşendir.

Bileşik Önerme	Tanımlama
~p	Değilleme önermesi
pvq	Tümel evetleme önermesi
pΛq	Tikel evetleme önermesi
p⇒q	Koşul önermesi
p⇔q	Karşılıklı koşuş önermesi

Bileşik önermelerin doğrulu değeri doğruluk tablosu ile denetlenir.

Değilleme Eklemi (~)

p	~p
D	Y
Y	D

Değillenen önerme tekrar değillendiğinde ilk önermenin doğruluk değerini alır. Buna çifte değillenme kuralı denir.

p	~p	~~p
D	Y	D
Y	D	Y

Tümel Evetleme Eklemi (Λ)

İki basit önermenin “ve” eklemiyle birleştirilmesinden oluşan önermelerdir.

Tümel evetleme önermelerinde bileşik yapının doğruluğu, bileşenlerin tamamının doğru olmasına bağlıdır.

p	q	pΛq
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	Y

Tikel Eveleme Eklemi (V)

Günlük dilde “veya” eklemiyle kurulan bileşik yapılardır. Tikel evetleme ekleminin doğru olması için bileşenlerinden birinin doğru olması yeterlidir.

p	q	pvq
D	D	D
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

Koşul Eklemi (⇒)

Yargının bir koşula bağlı olduğu önerme eklemidir. Günlük dilde ise, ancak gibi sözcüklerle ifade edilen eklemlerdir. Koşul önermelerinde ön bileşen doğru, art bileşen yanlış değer almışsa önermenin bütünü yanlış değer alır. Diğer durumlarda önerme, doğru değerini alır.

p	q	p⇒q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	D
Y	Y	D

Karşılıklı Koşul Eklemi (⇔)

Yargının sadece tek bir koşula bağlı olduğu önerme eklemidir. İki önermenin “ancak ve ancak” eklemiyle birleşmesinden oluşur.

Karşılıklı koşul önermesinde, bileşenlerin her ikisi aynı anda doğru veya aynı anda yanlışsa önerme doğru, diğer hallerde yanlıştır.

p	q	p⇔q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	D

Ördek sorular:

p: Y, q: D

bu durumda, (pΛq)v(p⇒q) önermesinin doğruluk değeri nedir?

(pΛq) v (p⇒q)

(YΛD) v (Y⇒D)

   Y             D

Y v D ≡ D

---

~[(~p⇔q) Λ (p⇔~q)] = ?

Cevap: Y

Değişmez: Kendi içinde anlamlı olan ve daha küçük alt birimlere indirgenemeyen birimlere değişmez denir.

Değişmezler mantık değişmezleri ve özel değişmezler olmak üzere ikiye ayrılır.

1 - Mantık değişmezleri

a) Önerme eklemleri

değil, ve, veya, ise, ancak ve ancak

b) Niceleyiciler

her, bazı, tüm, hiçbir, birkaç, kimi

c) Kiplik, özdeşlik, varlık mantığı değişmezleri

zorunlu, mümkün, özdeş

2 – Özel değişmezler

a) Ad değişmezleri

b) Yüklem değişmezleri

Sembolleştirme

Dildeki önermeler mantık dilinde p, q, r, s gibi harflerle sembolize edilir. Bileşik önermelerde ana eklem belirlendikten sonra bileşenleri parantez içinde gösterilir.

“Yağmur yağar ve ürün bol olursa çiftçiler mutlu olur” bileşik önermesinde koşul eklemi bize önermenin bileşenlerini işaret etmektedir:  (pΛq)⇒r

Sembolleştirilmiş önermelere doğru ya da yanlış değer izafe edilmesine yorumlama denir.

İki bileşenli bir önermenin dört, üç bileşenli bir önermenin sekiz yorum olasılığı vardır. Yorumları formüle eden satır sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. Bu formülde “n” bileşen sayısını verir.

Önermenin Tutarlılığının Denetlenmesi

Bir önermenin tutarlılığının denetlenmesi, önermenin yorumlarından en az birinin doğru değeri almış olması demektir.

Bir önermenin yorumlarının tümünün doğru olmasına totoloji denir.

Önermenin yorumlarının tümü yanlışsa o önerme tutarsızdır.

Birden Fazla Önermenin Tutarlılığının Denetlenmesi

Önermeler aynı satırda en az bir defa doğru değeri almışsa, tutarlıdır.

Önermenin Geçerliliğinin Denetlenmesi

Tüm yorumları doğru olan önermeler geçerli önermelerdir.

Çıkarımların Geçerliliğinin Denetlenmesi

Bir çıkarımın geçerli olması, öncülleri doğruyken sonucun da doğru olması koşuluna bağlıdır.

Çıkarımın iki öncülü (p ve q) tümel evetleme eklemiyle (Λ) bağlanır. Elde edilen önerme koşul eklemiyle (⇒) sonuç önermesine bağlanır. Elde edilen sonuç incelenir/denetlenir. Önerme geçerliyse çıkarım da geçerli demektir.

Ördek: pvq, ~q ∴p çıkarımı geçerli midir?

p	q	~q	pvq	(pvq)Λ~q	[(pvq)Λ~q]⇒p
D	D	Y	D	Y	D
D	Y	D	D	D	D
Y	D	Y	D	Y	D
Y	Y	D	Y	Y	D

Tüm değerler doğru çıktığına göre bu önerme geçerli ve dolaysıyla çıkarım da geçerlidir.

Çıkarımın geçerliliğini başka bir yolla da denetleyebiliriz:

Öncüller aynen alınır, sadece sonuç önermesinin değillemesi önermeye dahil edilir. Önermenin tutarlılığı bu yolla denetlenir.

Ördek:

p⇒q, p ∴q çıkarımının geçerliliğini denetlemek için p ve q öncülleri aynen alınacak “o halde” anlamındaki (∴) işaretin yerine öncülün değili eklenecek (∴q yerine ~q getirilecek).

p	q	~q	p⇒q
D	D	Y	D
D	Y	D	Y
Y	D	Y	D
Y	Y	D	D

Çıkarımın öncüllerinin doğruluk değerleri tabloda görülüyor (soruya konu olanlar kırmızı sütunlarda yer alıyor).

Tüm yorumları doğru olmayan bu çıkarım geçersizdir. Ancak en az bir doğrusu olduğu için tutarlıdır.

Önermelerin Denkliğinin Denetlenmesi

İki önermenin birbirine denk olması (eş değer), aynı satırda aynı doğruluk değerlerini almış olmalarını gerektirir. Aynı doğruluk değerine sahip önermeler eşdeğerdir.

Önermelerin denkliğini denetlemek için doğruluk değerleri tablosu çıkartılır ve değerler karşılaştırılır.

Bütün geçerli önermeler eşdeğerdir.

Bütün tutarsız önermeler eşdeğerdir.

Bir başka yol, denkliği sorgulanan önermeler karşılıklı koşul eklemiyle (⇔) birbirine bağlanır. Elde edilen önerme geçerli bir önermeyse (tüm yorumları doğruysa) önermeyi oluşturan iki önerme denktir demektir.

Ördek:

~p⇒q, pvq önermelerinin denkliğinin denetlenmesi

Karşılıklı koşul eklemiyle iki önermeyi birbirine bağlıyoruz:

(~p⇒q)⇔(pvq)

p	q	~p	~p⇒q	pvq	(~p⇒q)⇔pvq)
D	D	Y	D	D	D
D	Y	Y	D	D	D
Y	D	D	D	D	D
Y	Y	D	Y	Y	D

(~p⇒q)⇔(pvq) önermenin tüm yorumları doğru, dolayısıyla önerme geçerli ve dolayısıyla ~p⇒q, pvq önermeleri denktir.

Bir karşılıklı koşul önermesi geçerli ise bu önermeyi oluşturan iki önerme denktir.

Çözümleyici Çizelge

Önerme sayısı arttıkça doğruluk denetimi işlemi zorlaşır. Bu zorluğu aşmak için çözümleyici çizelge kullanılır.

Çözümleyici Çizelgenin Kuralları

Çözümleme Kuralları

Çizelge üzerinden denetleme yapılırken, bütün önermeler tümel ve tikel evetleme kurallarına indirgenerek çözümlenir.

Tümel Evetleme Önermesinin Çözümleme Kuralı

pΛq önermesi p ve q önermelerinin doğru olması koşuluyla doğru değeri alabilir.

Çözümleyici çizelgede her iki önermenin de doğru olduğunu belirtmek için alt alta yazılarak çözümlemesi yapılır.

Alt Alta Yazma (Anahtar Açma)    

           [Adım Numarası]  1. p Λ q

                                         p       

                                               (1)[Kaynak numarası]    

                                         q

Tikel Evetleme Önermesinin Çözümleme Kuralı

Pvq önermesinin doğru olabilmesi için p ve q önermelerinden birinin doğru olması gerekmektedir.

Bu durumu göstermek için çatal açma kuralı uygulanır.

Çatal Açma

                        1.   p  ∨  q 

                                  (1)           

                         p               q

Türetilmiş Çözümlemenin Kuralları

Tümel ve tikel evetleme biçiminde olmayan önermeler kendilerine denk olan tümel ve tikel evetleme biçimlerine dönüştürülürler. Bunun için De Morgan Kuralları adı verilen başlıca denkliklerden yararlanılır.

De Morgan Kuralları

Önerme		Eş değeri
~(pΛq)	≡	~pv~q
~(pvq)	≡	~pΛ~q
p⇒q	≡	~pvq
~(p⇒q)	≡	pΛ~q
p⇔q	≡	(pΛq)v(~pΛ~q)
~(p⇔q)	≡	(pΛ~q)v(~pΛq)

Koşul Önermesinin Çözümleme Kuralı

Koşul önermesi sadece bir koşulda yanlış değer alabilir (ön bileşen doğru, art bileşen yanlış). Demek ki koşul önermesi ön bileşenin yanlış veya art bileşenin doğru olduğu koşullarda daima doğrudur. Özetle, koşul önermesinin art bileşeni doğruysa koşu önermesi de doğrudur ve yine koşul önermesinin ön bileşeni yanlışsa önerme doğrudur.

p ⇒ q ≡ ~p ∨ q                    p ⇒ q  

                                             

                                         ~p            q

Koşullu Değillemesinin Çözümleme Kuralı

~(p⇒q) önermesinin doğru olması için p⇒q önermesi yanlış değer almalıdır.

p⇒q önermesi sadece p doğru q yanlış olduğu halde yanlış değer alır ve bu aynı zamanda ~(p⇒q) önermesini doğru yapan koşuldur.

~ (p ⇒ q) ≡ p  Λ ~q              ~ (p ⇒ q)  

                                              

                                                     p  

                                                   ~q

Karşılıklı Koşul Önermesinin Çözümleme Kuralı

Karşılıklı koşul önermesi ancak her iki öncül de aynı değeri aldığında doğru değeri alır.

p ⇔ q ≡ (p Λ q) ∨ ( ~p Λ~q)

      

  

          

           p              ~p

           q             ~q

Karşılıklı Koşul Değillemesinin Çözümleme Kuralı

Karşılıklı koşul önermesinin yanlış değer alması, karşılıklı koşul değillemesine doğru değeri verir.

~ (p ⇔ q)≡  (p Λ ~q) ∨ ( ~p  Λq)

         

           p              ~p

         ~q                 q

Çözümleyici Çizelge ile Denetleme

1- Çözümlenecek önermenin ana eklemi ve ana bileşeni belirlenir.

2- Çözümleme yapılırken önce alt alta yazma kuralı, sonra çatal açma kuralı uygulanır.

3- Aynı kural ile çözümlenecek önerme varsa çözümlemeye en üstte yer alan önermeden başlanır.

4- Çatal açma kuralı uygulandıktan sonra önerme devam ediyorsa çözümlemeye çatalın sol tarafındaki önermeden devam edilir.

5- Alt alta yazılan önermeler dizisine yol denir. Çatal açma kuralı uygulandığında karşımıza iki farklı yol çıkar.

6- Her çözümlemeden sonra yol üzerinde birbiriyle çelişen önerme olup olmadığına bakılır. Aynı yol üzerinde bir önermenin hem kendisi hem de değilinin olması durumuna çelişki denir.

Çelişkinin görüldüğü yerde yol kapatılır (X işareti konulur). Kapalı yol üzerinde çözümlenmemiş önerme olsa bile işlem o noktada sonlanır. Açık olan yoldan devam edilir.

7- Çözümlenen önermelere sırasına göre numara verilir.

Önermenin Tutarlılığının Denetlenmesi

En az bir açık yolu olan önerme tutarlıdır. Açık yolu bulunmayan önermeler tutarsızdır.

Birden fazla önerme denetlenirken önermeler alt alta yazılır ve çözümleme kuralları uygulanır.

Önermelerin Geçerliliğinin Denetlenmesi

Bir önermenin geçerliliği denetlenirken önermenin değili çözümlenir. Önermenin değilinin çözümünde tüm yollar kapalıysa önerme geçerlidir (önermenin değilinde tüm yolların kapalı olması, önermenin çözümünde tüm yolların açık olduğu anlamına gelir).

Çıkarımın Geçerliliğinin Denetlenmesi

Önce sonuç önermesinin değili alınır. Öncüller ve sonuç ayrı önermelermiş gibi alt alta yazılır. Çözümleme sonucunda tüm yollar kapalıysa çıkarım geçerli demektir.

Önermelerin Denkliğinin Denetlenmesi

Denkliği denetlenecek olan önermeler karşılıklı koşul önermesiyle birbirine bağlanır. Karşılıklı koşul eklemiyle birbirine bağlanan önermenin değili alınır ve çözümlenir. Çözümün sonunda tüm yollar kapalıysa önermeler denktir.

Niceleme Mantığı / Yüklemler Mantığı

Önermeler mantığının önermelerin niceliğine dair bilgi veremiyor oluşundan mütevellit niceleme mantığı tertip edilmiştir.

Önermeler mantığındaki eklemlerin tümü niceleme mantığında da kullanılır.

Mantık değişmezleri: eklemler, niceleyiciler; mantığın bütün konularında kullanılırlar: (~, Λ , ∨, ⇒, ⇔, ∀, ∃, (...), {...}, [ ... ], ∴ )

Önermeler mantığında:

Özel değişmezler: ad /terim/ konu/ özne ve yüklem değişmezleridir.

Önermelerin öznesi a, b, c… gibi sembollerle gösterilir. Bunlara ad sembolleri denir.

Önermelerin yüklemleri F, G, H… gibi sembollerle gösterilir. Niceleme mantığında önce yüklem, sonra özne yazılır.

Ördek:

“Filiz konuşkandır” önermesinde “Filiz” özne olduğu için (a), “konuşkandır” sözcüğü ise yüklem olduğu için (F) ile gösterilir. Dolayısıyla Fa’dır.

Niceleme mantığında yüklem tek bir önermeye aitse birli yüklem, iki özneye aitse ikili yüklem vs. adını alır.

Önermeler mantığında p⇒q şeklinde sembolleştirilen bir önerme niceleme mantığında Fa⇒Gb şeklinde sembolleştirilir.

Öznesi belirsiz önermelerde özneyi göstermek için x, y, z gibi semboller kullanılır. Bu sembollere değişken adı verilir.

Öznesi belirsiz/değişken önermelere açık önerme denir.

Açık önermelerin doğruluk değerleri yoktur.

Bir açık önermeyi, önerme haline getirmek için kullandığımız tüm terimler kümesine evren denir ve E: {...} biçiminde gösterilir. Evrendeki değerleri değişkenin yerine koyma işlemine özelleme, bu yolla elde edilen önermelere de özelleme önermesi denir.

Bir açık önermede verilen evrendeki her değer için yapılan özellemelerin toplamına açılım denir.

Evrene ait bir değerin özelleme önermesini doğru kılmasına gerçekleme denir.

Önermelerin niceliğini gösteren (bütün, her, bazı) gibi ifadelere niceleyici adı verilir.

Tümel niceleyici (tüm, bütün, hepsi) “∀” sembolüyle,

Tikel niceleyici (bazı, kimi, bir kısım) “∃” sembolüyle gösterilir.

“X fotosentez yapar” açık önermesi, klasik mantıkta “tüm bitkiler fotosentez yapar” biçiminde, niceleme mantığında “tüm x’ler için x fotosentez yapar” şeklinde ifade edilir: ∀xFx

Ayı önerme için canlılar evreni geçerli olursa:

E: [canlılar]

Klasik mantığa göre “bazı canlılar fotosentez yapar” biçiminde ifade edilir.

Niceleme mantığına göre ise “bazı x’ler için, x fotosentez yapar” biçiminde ifade edilir. “Bazı x’ler” için “∃x”, “x fotosentez yapar” yerine de “Fx” yazılır: ∃xFx

İçinde niceleyici geçen önermeye genel önerme denir.

Niceleme mantığında, tümel niceleyici ile kurulmuş açık önermelerin özellemeleri yapılırken elde edilen önermeler birbirlerine tümel evetleme (Λ) eklemi ile bağlanırlar.

Tikel Nicelemede ise, özelleme önermeleri tikel evetleme (∨) eklemiyle birbirine bağlanır.

İçinde niceleyici sembolü geçmeyen önermeler:

Taş serttir / Fa

Taş ve mermer serttir / FaΛFb

İçinde niceleyici sembolü bulunan önermeler:

Bütün bitkiler fotosentez yapar / ∀xFx

Bazı bitkiler yeşildir / ∃xFx

Yorumlama, Tutarlılık, Geçerlilik, Denklik

Yorumlama yapabilmek için bir evrenin verilmesi gerekir.

Evrendeki değerler sembolik önermeye göre yorumlanır.

Ördek: ∀xFx açık önermesinde E: [Ali, Veli] ise;

(Ali akıllıdır) Λ (Veli akıllıdır) biçiminde yorumlanır.

Tümel Niceleyici Değilleme Kuralı

~∀xFx ≡ ∃x~Fx biçiminde ifade edilir. Değillenmiş tümel önerme yerine ona denk olan tikel önerme yazılır.

Ördek:

~∀x (Fx⇒Gx) önermesinin bu kurala göre çözümü:

∃x ~(Fx⇒Gx

Tikel Niceleyici Değilleme Kuralı

~∃xFx ≡ ∀x~Fx biçiminde ifade edilir. Değillenmiş tikel önerme yerine, özdeşi olan tümel önerme yazılır.

Ördek:

~∃x (Fx v Gx) önermesinin çözümü;

∀x~(Fx v Gx)

Tümel Özelleme Kuralı

∀xFx gibi bir tümel önermenin özellemesini yapmak için aynı yol üzerinde daha önce geçmiş bir ad sembolü varsa x bilinmeyeni yerine o ad sembolü yazılır. Eğer daha önce geçen bir ad sembolü yoksa herhangi bir sembol kullanılır. Çözüm yapılan yol üzerinde birden fazla ad sembolü geçiyorsa, bu ad sembollerinin her biri ile tümel önermenin ayrı ayrı özellemesi yapılır. Tümel özelleme yapılırken tümel niceleyici (∀) kalkar, sadece yüklem sembolü kalır.

Ördek:

∀xFx, Fb ∴ Gb çıkarımının geçerliliğini denetleyelim:

Öncüller ile sonucun değili alt alta yazılır:

∀xFx

Fb

~Gb

Tikel Çözümleme Kuralı

∃xFx gibi bir önermenin özellemesi yapılırken aynı yol üzerinde daha önce geçmiş bir ad sembolü varsa o sembolden farklı bir sembol kullanılır. Tikelleyici (∃) kalkar, sadece yüklem sembolleri kalır.

Ördek:

∃xFx, Gb ∴ Ga

∃xFx

Gb

~Ga

Fc

Niceleme mantığında denetleme yapılırken aşağıda gösterilen öncelik sırası dikkate alınır:

1- Tümel niteleyici değilleme kuralı

2- Tikel niteleyici değilleme kuralı

3- Alt alta yazma kuralları

4- Tikel özelleme kuralı

5- Çatal açma kuralı

6- Tümel özelleme kuralı

Çözümleyici Çizelge İle Denetleme

Ördek:

∃xFx Λ ∃xGx

İşlem sırasına göre alt alta yazıyoruz, çünkü tümel ve tikel niceleyici değilleme kurallarını uygulamak için önermelerin değillerine ihtiyacımız var. Örnek soruda önermelerin değili verilmediği için 3. sıradaki işlemden başlıyoruz.

1. ∃xFx Λ ∃xGx       (Ö)

2. ∃xFx

3. ∃xGx

Fa (2)

Gb (3)

Önerme tutarlıdır.

Önermelerin Birlikte Tutarlılığının Denetlenmesi

Birden fazla önerme söz konusuysa, önermeler alt alta yazılır ve niceleme kurallarına uygun olarak çözümlenir.

Ördek:

~∀xFx, ~∃xFx

1. ~∀xFx,      (Ö)

2. ~∃xFx       (Ö)

3. ∃x~Fx (1)

4. ∀x~Fx (2)

~Fa (3)

~Fa (4)

Önermeler tutarlıdır

Önermelerin Geçerliliğinin Denetlenmesi

Bir önermenin geçerliliği denetlenirken önce o önermenin değili alınır. Çözümleme sonucunda tüm yollar kapalıysa önerme geçerlidir.

Ördek:

∀xFx ⇒ ∃xFx

1. ~(∀xFx ⇒ ∃xFx) (~Ö)

3. ∀xFx         

2. ~∃xFx       (1)

4. ∀x~Fx   (2)

Fa       (3)

~Fa    (4)

X         Önerme geçerlidir.

Çıkarımların Geçerliliğinin Denetlenmesi

Öncüler aynen alınıp, sonuç önermesinin değili alınarak çözümleme yapılır.

Ördek:

∀xFx, Ga ∴ Fa

1. ∀xFx          (Ön)

Ga       (Ön)

~Fa    (~Sn)

Fa (1)

X         Çıkarım geçerlidir.

Önermelerin Denkliğinin Denetlenmesi

Önermeler karşılıklı koşuş eklemiyle birbirine bağlanır. Elde edilen önermenin değili alınır. Değillenen önermenin çözümü yapılır. Bütün yollar kapalıysa verilen önermeler denktir.

Çok Değerli Mantık

Klasik mantık sistemleri belirsizlikle, tahminle ilgilenmezler. Kesin bir yargı belirtmeyen önermeler, çok değerli mantığın gelişmesine sebep oldu. Hülasa, önermelerin ikiden fazla değere sahip olabileceklerini kabul eden mantık sistemine çok değerli mantık denir.

Mantıksal paradokslar ve Heisenberg’in belirsizlik ilkesi, mantık bilimini çok değerliliğe zorladı.

Üç Değerli Mantık

Jan Lukasiewicz ve Arend Hayting tarafından geliştirilmiştir.

Üç değerli mantıkta doğru ve yanlışın yanında belirsiz değeri de verilebilmektedir. Buna göre bir önermenin doğruluk değeri şöyledir:

Doğru	D	1
Yanlış	Y	0
Belirsiz	B	1/2

Değil, ve, ise gibi önerme eklemler burada da geçerlidir/kullanılmaktadır.

Üç değerli mantıkta önerme eklemleriyle oluşturulmuş bileşik önermelerin alabileceği doğruluk değerleri aşağıdaki gibidir:

p	q	pΛq	pvq	p⇒q	p⇔q
D	D	D	D	D	D
D	B	B	D	B	B
D	Y	Y	D	Y	Y
B	D	B	D	D	B
B	B	B	B	D	D
B	Y	Y	B	B	B
Y	D	Y	D	D	Y
Y	B	Y	B	D	B
Y	Y	Y	Y	D	D

Kiplik Mantığı

Kiplik, önermenin dile getirdiği durumun gerçek, zorunlu ve mümkün olup olmama halidir. Önermeler, kiplerine göre, gerçek, zorunlu ve mümkün olmak üzere üçe ayrılır.

Zorunlu eklemiyle kurulan önermelere zorunlu önerme, mümkün eklemiyle kurulan önermelere de mümkün önerme denir. Zorunlu önermeler mantıksal doğruluğu gösterir. Mümkün önermeler olgusal (gözlenebilen) doğruluğu gösterir.

Zorunlu eklemi: □

Mümkün eklemi: ◊

Bu sembollere kiplik değişmezleri denir. Kiplik değişmezleri, verilen bir önermeden yeni bir önerme oluşturmaya yarar.

Zorunluluk kipiyle kurulmuş bir önermenin doğruluğu her koşulda zorunludur.

Mümkün kipiyle kurulmuş bir önermenin doğrulanması için tek bir olasılık yeterlidir.

Özdeşlik Mantığı

Niceleme mantığına benzer. Niceleme mantığında geçen değişmeler (∀, ∃) ve önermeler mantığındaki eklemler (~, Λ, v, ⇒, ⇔) özdeşlik mantığında geçerlidir.

Özdeşlik mantığında özdeş (≡) bir mantık değişmezidir.

Everest, dünyanın en yüksek dağıdır önermesi, Everest (a) ve en yüksek dağ (b) biçiminde alınıp, a ≡ b elde edilir.

Varlık Mantığı

Özdeşlik mantığının değişmezlerine “var” sözcüğünün eklenmesiyle elde edilmiş bir sistemdir.

Varlık mantığı ile hem gerçek hem de gerçek olmayan, hayali kurgulara dayalı önermeler kurulabilir.

“Vardır” biçimindeki mantık değişmezi “E!” sembolüyle gösterilir.

“Anka kuşu vardır” önermesi, “E!a” biçiminde gösterilir.