Doğan Özlem – Mantık
Mantık, varlıkla
olan ilişkisinden bağımsız olarak, sadece düşünme formlarının veya dilsel ifade
formlarının bir öğretisi olarak ele alınabilir.
Mantığı,
özdeşlik ve onun türevleri olan çelişmezlik, üçüncü halin olmazlığı ilkelerine dayalı
bir sistem olarak görüyoruz.
Klasik Mantık
Salt ve Formel Mantık
Mantık sözcüğü,
Arapçada söylemek, konuşmak anlamlarına gelen “ntk” köküne dayanır. Sözcüğün
Batı dillerindeki karşılığı ise “logos” sözcüğüne dayanır.
Mantık, düşünme
yasalarının bilimidir.
Akıl
yürütme, en az iki düşünce
arasında, bu düşüncelerden birini öbürünün kanıtlayanı olarak ele alıp buradan
bir sonuca ulaşmaktır.
Bir kanıtlama,
bir ispat konusu olabilen düşüncelere yargı
denir. Mantıkta ise yargı bildiren tümcelere önerme
denir.
Formel
mantık, önermelerin
içeriğinden bağımsız olarak biçimsel olarak doğruluklarının denetlenmesidir.
Mantıkta akıl
yürütme üç alt kategoride incelenir.
1 – Endüksiyon
(Tümevarım)
2 – Dedüksiyon
(Tümdengelim)
3 – Analoji
Mantık, geçerli
akıl yürütmelerle ilgilenir. Dedüksiyon,
öncüllerin doğru kabul edildiği durumda (öncüllerden sonuca gittiği için) sonuç
önermesini de zorunlu olarak doğru kabul eder.
Geçerli her akıl
yürütme muhakkak dedüksiyon sonucudur (her dedüksiyon geçerli bir akıl yürütme
vermeyebilir). Dolayısıyla mantık dedüksiyonla ilgilenir.
Örnek:
a) Bütün
insanlar ölümlüdür
b) Sokrates bir
insandır
c) O halde
Sokrates ölümlüdür
Sokrates’in
ölümlü olduğu yargısı birinci öncülde saklı olarak verilmiştir. Dedüksiyonun
eleştirilen yanlarından biri budur: yeni bir şey söylemez, bir önermede saklı
olan hakikati açığa çıkarır.
Dedüksiyonun
esas önemi bilgiyi bir kuram ve hatta sistem içerisinde düzenlemeye elveren
kanıtlayıcı özelliğidir.
Endüksiyon, belli bir durumdan, olaydan hareketle
genelleme yapmaya çalışır. Ağırlıkla deneysel veriler üzerinden genelleme
yapar.
Analoji; olay, durum ve önermeler arasındaki
benzerliklerden hareketle elde edilen çıkarımlardır. Endüksiyondan farkı,
genelleme yapmamasıdır.
Mantık İlkeleri
Özdeşlik İlkesi
Özdeşlik, bir şeyin kendisi olmasıdır. A’nın
kendisi A’nın özdeşidir. Eşitlik, benzerliğin en uç noktası olarak özdeşlikle
karıştırılabilir. Benzer olanlar eşit olabilir ancak özdeş olamazlar. Özdeşlikte,
başka bir şey düşünülmemeli, söz konusu edilmemelidir.
Çelişmezlik İlkesi
Bir şey hem
kendisi hem de başka bir şey olamaz. Çelişmezlik ilkesi, özdeşlik ilkesine
dayalı bir önermedir. Buna göre bir önermenin tek bir doğruluk değeri olabilir,
bir önerme hem kendisi hem de kendisinden başka olamaz.
Üçüncü Halin
Olmazlığı İlkesi
Bir önerme ya
doğru ya da yanlıştır, aynı koşulda hem doğru hem de yanlış olamaz.
Kavramlar (Terimler) Mantığı
Platon, kavram sözcüğünün içeriğine ideaları dahil etti. Bundan
sonra da kavram için, bir şeyin zihindeki karşılığı tanımı geçerli kabul
edildi.
Terim ise kavramın dil içerisinde işaret
ettiği anlam alanını belirler.
Kavramları soyut ve somut olmak
üzere iki kategoriye ayırırız. Soyutlamalar daha genel ve muğlak varlık
alanlarına sahiptirler.
Önermeler
içerisindeki anlam bağlamlarına göre kavramları tümel
ve tikel olmak üzere iki kategoriye
ayırabiliriz.
Benzerlikleri
ele alarak tikelden tümele açılan anlam alanına sahip bir diğer kategori genellemelerdir. Genel kavramı benzerlikler üzerinden
hareket eder.
Genel kategorisine
yakın anlamdaki bir diğer kavram kolektiftir.
Kolektif, benzerleri bir arada ele ala ancak bu benzerler arasında genellemeye
imkân vermeyen farklılarında var olması durumunda söz konusu edilir. Örneğin
aile, kolektif bir kavramdır. Hükümet kavramı da kolektiftir.
Kolektif yapıyı
oluşturan tikel unsurların her biri distribütif
kavram olarak ele alınır.
Açık bir kavram, nesnesini tanımaya elveren,
onu başka nesnelerden ayırmamıza imkân veren kavramdır.
Seçik kavram, kavrama yükletilen özellikleri
ayırt etmeye imkân veren kavramdır.
Olumlu kavram, işaret ettiği şeyde bir
niteliğin bulunduğunu; olumsuz kavram, işaret
ettiği şeyde bir niteliğin bulunmadığını bildiren kavramdır.
Cins, ortak özellikleri olan genel kavramları
kapsayan bir genel kavramdır.
Tür, cinsin altında bazı özellikleri
dolayısıyla cinsle kısmen özdeş olan genel kavramdır.
3. Kavram Çeşitlerinin Salt Mantık
Açısından Eleştirisi
Mantıkçı için
düşünülebilen her "şey" bir kavramdır.
Mantık kavramın
neliği, felsefe ve bilim ise kavramın gerçekliği ile ilgilenirler.
4. Cins, Tür ve Ayırım
Genel kavramlar
arasındaki kısmî farklılık ve kısmî özdeşlik, mantıksal açıdan belki de
kavramların en önemli özellikleridir.
Bu iki yapı, cins (genus, genre) ve tür (art, species, nevi) adlarını alırlar.
Cins, ortak
özellikleri olan genel kavramları kapsayan bir genel kavramdır.
Tür, cinsin
altında bazı özellikleri dolayısıyla cinsle kısmen özdeş olan genel kavramdır.
Görülüyor ki,
cins kavramı bir üst-kavram, tür kavramı bir alt-kavram konumundadırlar.
Tür olarak
belirlenmiş bir nesneyi, tür kategorisinden ayıran özelliklerine ayırım (diffeentia, differenz) denir. Aynı türden iki nesneyi birbirinden
ayıran özelliklere de türsel ayırım denir.
Ayrıca bir türün
bireylerine bazen ait olan bazen ait olmayan özellikler de vardır ve bunlara ilinti (araz, accident)
denir.
Bunlara beş tümel denir (cins, tür, ayırım, türsel ayırım,
ilinti).
5. İçlem ve Kaplam
…türün anlamı
cinsin anlamından daha zengindir. Buna karşılık, cins, türleri altına alması
bakımından, kapsadığı veya işaret ettiği konu veya nesneler yönünden bir
genişliğe sahiptir. Demek ki, her kavramda hem içine aldığı konu veya nesneleri
işaret etme, onları kapsama; hem de bu konu ve nesnelerin ortak özelliklerini
yani anlamlarını işaret etme gibi iki yön vardır.
İşte, bir
kavramın kapsadığı, içine aldığı, işaret ettiği, belirttiği konu ve nesneler, o
kavramın kaplamındadır. (s. 93-94)
…bir kavramın
işaret ettiği, hatırlattığı ortak özellikler, yani kavramın anlamı, onun içlemidir. Bir kavramın içlemini belirlemek, o
kavramın anlamını belirlemek demektir. (s. 94)
A=hayvan,
B=insan olsun. "İnsan hayvanın kaplamındadır." demek, "İnsan bir
hayvandır." demektir. "Hayvan insanın içlemindedir." demek,
"İnsan hayvan olma özelliğine sahiptir." demektir.
Bir kavramın
kaplamı çoğalınca içlemi, içlemi çoğalınca kaplamı azalır.
Aristoteles,
nesneleri işaret eden kavramlar arasındaki ilişkiyi, tekil kavram-genel kavram
ilişkisi temelinde ele alarak yola çıkar.
Tekil nesneler
fiziksel olarak hep bir değişme ve oluş içindedirler. Ama onların kendi
kendileriyle özdeş kalan, değişmeyen ve oluş sürecine katılmayan bir yönleri de
vardır.
…ve buna töz
denir.
Aristoteles'e
göre, tekil nesnelerin bilinebilmesi için, tekil nesnelerin ortak özelliklerini
belirleyen genel kavramlara sahip olmak zorunludur.
Sonuçta
Aristoteles, birinci tözler ve ikinci tözler olmak üzere iki töz türünden söz
etmiş olur. Birinci tözler, tekil nesnelerin kendileriyle özdeşliğini,
onlardaki değişmeyen yönü belirtirler. İkinci tözler ise, tekil nesnelerin
ortaklaşa paylaştıkları temel nitelikler olurlar.
Aristoteles'e
göre, nesnelerin sınırsız sayıdaki özellikleri, aslında 10 özellik grubu içinde
toplanabilir. Aristoteles, bu temel 10 özellik grubuna kategoriler adını verir
ve bunları sırasıyla şöyle adlandırır: 1. töz (substanz),
2. nicelik, 3. nitelik, 4. bağıntı (relation),
5. zaman, 6. yer (mekân), 7. durum (situation),
8. sahip olma, 9. edim (fiil, action), 10. edilgi (münfail,
passion). Bu 10 kategoriden birincisi, tüm
değişmelere ve oluşa karşı, nesnenin değişmeyen ve değişmeyi de mümkün kılan
tözüdür. (s. 96-98)
6. Beş Tümel (Cins, Tür, Ayırım, Türsel
Ayırım, İlinti)
Porphyrios, nesneleri ve kavramları beş tümel
kategoride incelemiştir. Buna Porphyrios ağacı denir.
Cevher
+
Cismi olmayan=
Cansız = Duygusuz = Akılsız
+
Cismi olan=
Canlı = Duygulu (hayvan)= Akıllı (insan)
7. Beş Tümel ve Sistem Kurma
…mantık
açısından önemli olan, kavramlar arasındaki cins-tür ve içlem-kaplam ilişkisini
formel düzeyde saptamak ve bununla yetinmektir.
…bir kavram
hiyerarşisi, bir "kavramsal sistem" oluşturmanın iki yolu vardır:
1. Rasyonel
yol: a) …tüm varolanları
içine aldığı düşünülen yani kaplam bakımından en üstte yer alan, tüm
varolanları, bu kavramın cins ve türleri olarak aşağıya doğru sıralamak.
b) Aynı yol
matematikte de izlenir ve örneğin geometride, tüm geometrik uzam bir noktalar
uzamı olarak tasarlanır.
2. Empirik
yol: …saptayabildiğimiz
özelliklerine göre, nesnelerin genel kavramlarını oluşturur ve nesneler
arasındaki içerme (kaplam) ve anlam (içlem) ilişkisini kurmaya çalışırız.
Böylece, (…) tüm
doğal nesneler dünyası, tüm evren de "atom", "elektron"
veya "parçacık'lardan oluşturulmuş olur. Teorik fiziğin yaptığı budur. (s.
101)
Tanım
Tanım konusu,
salt mantık açısından cins-tür ve içlemkaplam ilişkisinin, önce kavramlara ve
daha sonra bu kavramların işaret ettiği konulara (nesnelere) bir uygulanımını
ifade eder.
…tanım, bir
kavramın (terimin) anlamını belirleme işlemi olarak karşımıza çıkmaktadır. (s.
105)
Bölme
Klasik mantıkta,
bir kavramın kaplamının bütünselliğinden iki şey anlaşılmıştır: 1. Bütün,
birbirinden ayrı duran (divers) parçaların bir bireşimidir (sentez). Bu anlamdaki bütüne totum (öğeler bütünü) denmiştir. 2.
Bütün, aynı sınıf içinde yer alan tekillerin, fertlerin toplamıdır. Bu
anlamdaki bütüne de omne (tekiller toplamı) denmiştir. (s. 117-118)
…iki bölme
türünden söz edilebilir: 1. Bütünü (totum) öğelerine ayırmak veya bölmek.
2. Bütünü (omne)
kendisini oluşturan tekillere veya tikellere ayırmak, bölmek.
Mantık açısından
önem taşıyan bölme türü ikincisidir. Çünkü birincisinde bütün ile parçaları
(öğeleri) arasında kaplamsal ve içlemsel bir ilişki yoktur.
10. Sınıflandırma
Sınıflandırma,
konu ve nesneleri cins-tür ilişkisine göre sıralamaktır.
…tüm geometrik
şekiller, en üst cins kavramı olarak "nokta" kavramının kaplamında yer
alırlar.
Aristoteles’de "varlık"ın en yüksek cins
kavramı (summa genera)
olarak ele alındığını ve tüm varolanların aşağıya doğru sınıflandırıldığını
görüyoruz.
Aristoteles,
"varlık" kavramının üstüne ancak yaratıcı güç olarak "tanrı"
kavramını koyabileceğimizi belirterek, kendi ontolojisini bir teolojik
metafizik olarak da kurmuştur. Daha sonra Spinoza,
"tanrı" ile "varlık"ı özdeşleştirerek, kendi panteist
ontolojisini geliştirmiştir.
Önermeler
Mantığı
Temel Kavramlar
Bir özelliğin
bir kavramın içlemine ait olup olmadığını belirtmek yargı vermektir. Önerme de
bu yargının dille ifadesidir.
…önerme iki
terim arasında "dır" kopulası aracılığıyla bağıntı kuran bir dilsel
forma sahiptir.
Kavramlarımız
gerçekten "var" olan şeyleri (masa) işaret ediyorlarsa, bu
kavramlarımızın tanımları nesne tanımı; sadece düşünülmüş
ve ad konulmuş şeylere (nokta, sayı, masal devi vb.) işaret ediyorlarsa, bu
kavramlarımızın tanımları ad tanımları oluyor.
…mantık, önermelerin
gerçek/maddî bir duruma uygunluğu veya uygunsuzluğu ile ilgilenmez.
Önermelerin
gerçeğe uygunluk veya uygunsuzlukları bir mantık konusu değil, bir bilgi
konusudur.
Önerme, gramer
açısından bir tümce (cümle) türüdür.
Ancak her tümce
bir önerme değildir.
İddia ve yargı
bildiren tümce türü gramerde haber tümcesi (Masa dikdörtgendir) olarak anılır
ki, mantıkta bu tümce türüne karşılık olan şey önermedir.
Önerme Çeşitleri
1. doğruluk
değerleri içeriksel (olgusal) önermeler,
2. doğruluk
değerleri biçimsel (mantıksal) önermeler.
Kuruluş
biçimleri ve yapıları bakımından önermeler iki türe ayrılırlar:
1. basit önermeler,
2. bileşik
önermeler.
Basit
(kategorik) önerme, özne, yüklem ve kopuladan meydana gelen önermedir.
Bileşik önerme,
iki veya daha çok basit (kategorik) önermeye ayrılabilen önermedir. Bileşik
önermeler, "ve", "veya", "ise", "ancak ve
ancak ...ise", "değil" gibi mantıksal bağlaçlarla birbirine
eklemlenmiş basit (kategorik) önermelerden oluşur.
1. tümel
evetleme (ve)
"Dünya
gezegendir ve (dünya) yuvarlaktır."
2. tikel
evetleme (veya)
"Hava
bulutlu veya (hava) açıktır."
3. koşul (ise)
"Hava
bulutlu ise yağmur yağar."
4. karşılıklı
koşul (ancak ve ancak ... ise)
"Sınıfını
geçmen ancak ve ancak çalışır isen mümkündür."
5. değilleme
(değil)
"Dünya düz
değildir." (Dünyanın düz olduğu doğru değildir.)
Önermeler
nicelik bakımında ikiye ayrılır:
1. tümel
önermeler,
2. tikel
önermeler.
Nicelik, bir önermenin
tümel veya tikel olmasıdır.
Nitelik (quality),
bir önermenin olumlu (pozitif) veya olumsuz (negatif) olması halidir.
Kant, nitelik
bakımından bir de belirsiz (undecidable, unentschieden) önermelerden söz etmiştir.
Belirsiz önermeler,
yüklemi olumsuz olan olumsuz önermeler olarak görünürler.
Bunlar, anlam
bakımından olumlu, form bakımından olumsuz önermelerdir.
Nitelik ve
nicelik bakımından tüm önermeleri dörde ayırmak mümkün olmaktadır:
1. tümel olumlu,
2. tümel
olumsuz,
3. tikel olumlu,
4. tikel
olumsuz.
Aristoteles,
önermeleri bir de kiplik (modalite) yönünden
sınıflandırmıştır.
Kiplik, önermenin işaret ettiği şeyle olan bir
ilişkisidir.
Kiplik (modalite), bir önermenin işaret ettiği şeyin gerçek,
zorunlu veya mümkün olup olmaması halidir.
"Kötülük
eden mutlaka kötülük bulur." önermesinde ifade edilmemiş bir kiplik vardır.
Bu önermeyi,
kipliğini belirterek şöyle kurmak gerekir: "Deney göstermiştir ki, kötülük
eden mutlaka kötülük bulur."
Kipsel (modal)
önermelerde kipliği ifade etmeyen esas önermeye dictum denir.
Önermenin kipliğini belirten ikinci derecedeki önermeye, modus denir.
"Deney göstermiştir."
önermesi ile "mutlaka" zarfı modus, "Kötülük eden kötülük
bulur." önermesi ise dictumdur.
Aristoteles,
kiplik yönünden üç tür önerme ayırır:
1. Assertorik (yalın)
2. Apodiktik
(zorunlu),
3. Problematik
(mümkün).
Assertorik (yalın) önerme,
öznenin bir özelliğinin yüklemde ifade edildiği bir önerme formuna, yani
"A, B'dir."
Bu bakımdan tüm
empirik önermeler assertorik (yalın) sayılırlar.
Apodiktik (zorunlu)
önermelerde, modus bir zorunluluğu ifade eder. Bu önermeleri "A mutlaka
B'dir." formunda ifade edebiliriz.
Problematik (mümkün)
önermelerde, modus bir olasılığı (probability) ifade eder. Bu önermeler de,
form bakımından "A, B'dir." şeklinde bir basit önerme formundadırlar.
Bir önermenin olumsal,
zorunlu veya olası olması (gerçek, zorunlu ve mümkün olması), önermenin formuna
değil içeriğine aittir.
Salt mantık
açısından bakıldığında, önermelerin kipliği (modalitesi) bir mantık konusu ve
problemi değildir.
Klasik mantıkta
önermeler bağıntı (relation) yönünden üç çeşide
ayrılmışlardır: 1. kategorik,
2. hipotetik
(koşullu),
3. disjunktif (ayrık).
Kategorik
önerme, bir yüklemi bir özne
hakkında olumlayan veya olumsuzlayan önermedir.
Klasik mantıkta,
yüklemi soyut/genel, öznesi somut/tekil veya soyut/genel olan önermelere
kategorik önerme denmiştir.
Hipotetik
önerme, iki terim arasında
bir hipotez-sonuç bağıntısını olumlayan veya olumsuzlayan önerme olarak
tanımlanmıştır. Form olarak "A,B'yi gerektirir." ve "A,B'yi
imkânsız kılar." olarak ifade edilebilir.
Hipotetik
önermeler, aslında cins kavramları, genel kavramlar arasında bağıntı kuran
önermeler olurlar.
Disjunktif
(ayrık) önerme, iki terim
arasında bir karşılıklılık bağıntısı kuran önerme olarak tanımlanmıştır. Bu
karşılıklılık "veya", "ya, ya da" sözcükleri ile ifade
edilir. (s. 147)
Dört Standart Form Basit (Kategorik)
Önerme
Önermenin
niceliğinden onun tümel veya tikel, niteliğinden olumlu veya olumsuz olmasını
anlıyoruz.
Nicelik
bakımından tümellik ifade eden sözcüklerimiz "bütün", "tüm",
"hiçbir"; tikellik ifade eden sözcüğümüz ise "bazı”dır.
Latince
"evetliyorum, tasdik ediyorum, onaylıyorum, olumluyorum" anlamına
gelen AFFIRMO sözcüğünün (affirmation: onaylama, tasdik etme) ilk iki sesli harfi
olan A ve I harfleri, olumlu önermeleri simgelerler. Bunlardan A tümel-olumlu, I
ise tikel-olumlu önermeyi gösterirler.
Latince
"değilliyorum, olumsuzluyorum, inkâr ediyorum" anlamlarına gelen NEGO sözcüğünün (negation:
değilleme, olumsuzlama, inkâr etme) iki sesli harfi olan E ve O harfleri ise, olumsuz
önermelerin simgeleridir. Bu harflerden E tümel-olumsuz, O ise tikel-olumsuz
önermeyi gösterir. (s. 153)
Üleştirim veya dağıtıcılık, özne ile yüklemin
kaplamları arasındaki bir ilişkidir.
Bu durumu
cins-tür ilişkisi temelinde de açıklamak mümkündür.
Kaplamı dar olan
terim özne, kaplamı geniş olan terim yüklem ise, özne bu yükleme göre
üleştirilmiş (dağıtılmış) olur.
Karşıtlık (contrary), özne ve yüklemi aynı olan
iki önermenin nitelik bakımından farklı olmaları halidir. Karşıtlık, tümeller arasında
ise üst-karşıtlık, tikeller arasında ise alt-karşıtlık adını alır.
Altıklık (subalternation), özne ve yüklemi aynı
olan iki önermenin niteliklerinin aynı, niceliklerinin farklı olması halidir.
Çelişki (contradictory), özne ve yüklemi aynı
olan iki önermenin hem nitelik hem nicelik yönünden farklı olmaları halidir.
Çıkarım Mantığı / Dedüktif Mantık
Çıkarım (dedüksiyon), önermeler arasındaki bir kanıtlama
ilişkisi olarak karşımıza çıkmaktadır.
Akıl yürütme,
aralarında bir kanıtlayan-kanıtlanan ilişkisi kurabildiğimiz önermeler için söz
konusudur.
Dictum
de omni (hep kuralı)
gereğince, bir cins için belirtilen bir özelliğin, içlem yönünden, o cinsin tüm
türleri için geçerli olduğunu biliyoruz.
Kanıtlama, en az
bir ortak terime sahip iki önerme arasında, bu terimlerin içlemleri ve kaplamları
yönünden kurulan bir mantıksal ilişkidir. Tanıtlama (demonstration)
ise, ortak terimleri içermeyen önermeler arasında bir nedensellik bağıntısı
kurma işlemi olarak anlaşılmalıdır. (s. 165)
Doğrudan çıkarımlar
Tek bir öncülden
sonuca geçilen, yani biri öncül diğeri sonuç olmak üzere iki önermeden oluşan
çıkarımlardır. İki çeşidi vardır:
a) karşıolum
çıkarımları
b) eşdeğerlik
çıkarımları.
Karşıolum
Çıkarımları
Karşıolum (opposition), dört
standart kategorik önerme arasındaki karşılıklı ilişkilerdir.
1. karşıtlık,
2. altıklık
(içerme),
3. çelişki.
Olmak üzere üç
biçimde karşımıza çıkar.
Karşıtlık (contrary),
nicelikleri aynı, fakat nitelikleri farklı önermeler arasındaki ilişkidir.
Alt karşıt olan
tikel önermeler birlikte yanlış olamazlar; ama birlikte doğru olabilirler.
Altıklık
(İçerme) Çıkarımları
Altıklık, nitelikleri aynı fakat nicelikleri
farklı önermeler arasındaki ilişkidir.
Çelişki
Çıkarımları
Çelişki, hem niteliği hem niceliği farklı
önermeler arasındaki ilişkidir.
Çelişki
çıkarımları geçersiz çıkarımlardır. Çünkü öncülde evetlenen sonuçta
değillenmekte veya öncülde değillenen sonuçta evetlenmektedir.
Eşdeğerlik (equivalence),
iki önermenin doğruluk değerlerinin aynı olması demektir. Doğruluk değerleri
aynı olan önermelere de eşdeğer (equivalent)
önermeler denir. Bu önermelerden biri doğruysa diğeri de doğru, biri yanlışsa
diğeri de yanlıştır.
Üç çeşit
eşdeğerlik çıkarımı vardır.
Evirme (conversion),
önermenin niteliğini ve niceliğini bozmadan, öznesini yüklem, yüklemini Özne
yaparak yeni bir önerme elde etmek ve önermenin kendisini öncül, dönüştürülmüş şeklini
sonuç kılmaktır.
Çevirme (inversion)
iki aşamalı bir işlemdir:
1. Önce
önermenin niteliği değiştirilir; olumlu ise olumsuz, olumsuz ise olumlu
yapılır.
2. Önermenin
yükleminin olumsuzu (bütünleyicisi) alınır. Bu işlemde elde edilen yeni önerme
sonuç önermesi, esas önerme öncül önerme olur.
Devirme (contraposition),
önermenin niteliğini ve niceliğini bozmadan, öznesinin olumsuzunu yüklem,
yükleminin olumsuzunu özne kılarak yeni bir önerme elde etmek ve elde edilen yeni
önermeyi sonuç, esas önermeyi öncül olarak alıp çıkarım yapmaktır.
Dolaylı çıkarımlar
En az iki öncül
ve bir sonuç önermesinden kurulu yani en az üç önermeyi içeren çıkarımlardır.
Bu çıkarım
çeşidine ayrıca ve daha yaygın adlarıyla tasım, kıyas, sillogizm adları da verilir.
Tasımlar, öncül
ve sonuç önermelerinin tümünün kategorik (basit) önermelerden oluşması halinde kategorik
tasım, öncüllerinden en az birinin veya hem öncüllerin hem sonucun bileşik
önerme içermesi halinde kategorik olmayan tasım olarak iki alt gruba
ayrılırlar.
Kategorik
tasım (kıyas), kategorik önermelerden kurulu, iki öncül ve
bir sonuçtan oluşan çıkarımlardır.
Aynı tasımda yer
alan önermelerde üç terim geçmektedir.
Bu terimlerden
ikisi hem öncüllerde hem sonuçta; biri ise yalnızca öncüllerde yer almaktadır.
Yalnızca öncüllerde yer alıp sonuçta yer almayan terime orta terim, sonuçta yer
alan terimlerden yüklem konumundaki terime büyük terim, özne konumundaki terime
küçük terim denir.
Tasım Kuralları
Her tasımda, üç
terim bulunmalıdır.
Orta terim sonuç
önermesinde bulunmamalıdır.
Öncüllerden
birisi mutlaka tümel olmalıdır.
Öncüllerden
birisi tikelse sonuç da tikel olmalıdır.
Öncüllerden en
az birisi olumlu olmalıdır.
Öncüllerden
birisi olumsuz ise, sonuç önermesi de olumsuz olmalıdır.
İkiden fazla
öncüle sahip tasımlara zincirleme tasım (polisillogizm) denir.
İki öncül ve bir
sonuçtan oluşan bir tasım tam tasımdır.
Öncüllerden
birini veya sonucu saklı tutarak, yani dile getirmeyerek yapılan tasımlara eksik önermeli tasım veya entimem
adı verilir (Grekçe enthymemia, akılda saklı
tutmak, bellekte saklamak, bir şeyi dile getirmeden zihinden geçirmek, anlamına
gelir).
Hipotetik
Tasım (Koşullu Tasım)
Büyük öncülü
hipotetik önerme olan tasıma hipotetik tasım veya
koşullu tasım denir.
Disjunktif
Tasım (Ayrık Öncüllü
Tasım)
Büyük öncülü
disjunktif önerme olan tasımlara disjunktif tasım
veya ayrık öncüllü tasım denir.
İki çeşit
disjunktif tasım ayırt edilmiştir:
1. bağdaşır
seçenekli tasım,
2. Bağdaşmaz seçenekli
tasım.
Bağdaşır
seçeneklerin “veya”, bağdaşmaz seçeneklerin ise “ya, ya da” eklemleriyle ifade
edildikleri açıktır.
İkilem (Dilemma)
İkilemde büyük
öncül karmaşık bir önermedir.
Basit
İkilemlerde büyük öncül iki hipotetik önermeden oluşur.
Basit yapıcı
ikilemde, küçük öncül, büyük öncüldeki ön ve art bileşenlerin (birinci ve
ikinci hipotetik önermelerin) birer bileşenini içeren olumlu bir bağdaşmaz
seçenekli önermedir. Sonuç, büyük öncülün ön bileşeninin (birinci hipotetik
önermenin) art bileşeni olur.
A ise B'dir ve C
ise B'dir.
Ya A ya da
C'dir.
B'dir.
Çalışırsan iyi
not alırsın ve kopya çekersen iyi not alırsın.
Ya
çalışacaksın ya da kopya çekeceksin.
O halde, iyi not
alırsın.
Basit yıkıcı
ikilemde, küçük öncül, büyük öncülün ön ve art bileşenlerinin (birinci ve
ikinci hipotetik önermelerin) art bileşenlerini içeren olumsuz bir bağdaşmaz
seçenekli önermedir. Sonuç büyük öncülün ön bileşeninin (birinci hipotetik
önermenin) değillenmesi olur.
A ise B'dir ve A
ise C'dir.
Ne B ne de
C'dir.
A değildir.
Seven biriysen
ona ilgi gösterirsin ve ona sevgini açarsın.
Ona ne ilgi
gösteriyorsun, ne de sevgini açıyorsun.
O halde, seven
biri değilsin.
Karmaşık
ikilemlerde, büyük öncül iki hipotetik önermeden oluşur.
Karmaşık yapıcı
ikilemde, küçük öncül büyük öncülün bileşenlerinin (birinci ve ikinci hipotetik
önermelerin) ön bileşenlerini içeren olumlu bir önermedir.
Karmaşık yıkıcı
ikilemde, küçük öncül büyük öncülün ön bileşeninin (birinci hipotetik
önermenin) art bileşenini ve art bileşeninin (ikinci hipotetik önermenin) art bileşenini
içeren olumsuz bir önermedir. Sonuç, büyük öncülün küçük öncülde yer almayan
diğer bileşenlerini içeren olumsuz bir önerme olur.
Çıkarımların
Sınıflandırılması
1. Doğrudan
Çıkarımlar
1.1. Karşıolum çıkarımları
1.1.1 Karşıtlık çıkarımları
1.1.1.1. Üst
karşıtlık çıkarımları
1.1.1.2. Alt
karşıtlık çıkarımları
1.1.2. Altıklık (içerme) çıkarımları
1.1.2.1. Üst
içerme çıkarımları
1.1.2.2. Alt
içerme çıkarımları
1.1.3. Çelişki çıkarımları
1.2. Eşdeğerlik Çıkarımları
1.2.1 Evirme
1.2.2. Çevirme
1.2.3. Devirme
2. Dolaylı
Çıkarımlar (Kıyas)
2.1. Kategorik Tasım
2.1. Zincirleme tasım
2.1. Entimem
2.2. Kategorik olmayan Tasım
2.2.1. Hipotetik tasım
2.2.2. Disjunktif tasım
2.2.2.1.
Bağdaşır seçenekli tasım
2.2.2.2. Bağdaşmaz
seçenekli tasım
2.2.3. İkilem (Dilemma)
2.2.3.1. Basit
ikilem
2.2.3.1.1. Basit
yapıcı ikilem
2.2.3.1.2. Basit
yıkıcı ikilem
2.2.3.2.
Karmaşık ikilem
2.2.3.2.1.
Karmaşık yapıcı ikilem
2.2.3.2.2.
Karmaşık yıkıcı ikilem (s. 218)
Lojistik / Sembolik Mantık
ÖNERMELER MANTIĞI (I) (DOĞRULUK
FONKSİYONU MANTIĞI)
1. Klasik Mantığın Aristoteles’ten
Sonraki Gelişimi
Aristoteles,
geliştirmiş olduğu mantık sistemine "mantık" adını kullanmamış, ona
"analitik" demiştir.
"Mantık" adını ilk kez Stoacılar kullanmıştır.
Aristoteles'in mantık
hakkındaki yazılan "Organon" adı altında toplanmıştır. (s. 221)
Aristoteles'in
mantık sistemi, önce Porphyrios ve
daha sonra M.S. 6. yüzyılda Boethius
tarafından sadeleştirilmiştir.
Tasım mantığı (sillogistik), Ortaçağda çok yüksek bir değer kazanmıştır.
Rönesans’tan
sonra tümevarım önem kazandı. Bunun neticesinde Aristoteles mantığı
eleştirilmeye başlandı.
Yeniçağ,
nesneleri ve nesneler arası ilişkileri niceliksel yoldan ve sayısal/cebirsel
ilişkiler halinde kavramayı sağlayacak olan bir matematik ve mantık anlayışı
geliştirmeye çalışmıştır.
Descartes
geleneğine bağlı Port Royal mantığı, mantığı bilgi kuramının içine alan ve onu
bilgi kuramının bir parçası olarak gören anlayışın bir ürünüydü.
Lojistiğe (Sembolik Mantığa) Geçiş
"Salt
mantık"a geçiş konusunda ilk adımlar mantıkçı ve filozoflardan değil,
matematikçilerden gelmiştir. De Morgan,
1847'de, mantığı matematiksel yoldan sembollerle ifade edilen bir yapıya kavuşturmanın
ilk örneğini vermiştir.
De Morgan'ın
çalışmalarını C.S. Peirce
geliştirmiştir.
G. Frege, matematiğin
mantıktan türetilebileceği tezi ile lojistiğe giden yolda en önemli adımı
atmıştır.
"Kalkül" Kavramı
Kalkül, hesap cetveli, işlem çizelgesi anlamlarına
gelir. Lojistikçiler, mantık için ve mantıksal ilişkilerin bir çizelgesi
halinde kurulabilecek bir kalkül üzerinde çalıştılar ilk önce. Cebir nasıl ki
sayıların yerine harfleri koyuyorsa, mantık da önermeler yerine harflere
başvuracaktır.
Bu yolla
kazanılan bir kalkül, artık önermelerin içeriklerini değil, onlar arasındaki
formel ilişkileri görmemizi sağlayan bir hesap cetveli, bir işlem çizelgesi
görünümündedir.
Bir kalkülün ilk
ve en bilinen tarihsel örneği Öklit'in
geometrik kalkülüdür.
Yeniçağda Descartes’ın Öklit geometrisine
cebirsel yöntemleri uygulayarak bir "analitik geometri"
geliştirdiğini görürüz.
Galilei'den beri fizikçiler, doğabilimsel ifadeleri ve doğa
yasalarını hep matematiksel bir dil, bir formül dili içerisinde sembollerle
göstermek istemişlerdir.
İşte böyle bir
kalkül geliştirmeye çalışan ilk kişi
Leibniz olmuştur. Leibniz böyle bir kalküle characteristica universalis (tümel karakterler) adını vermişti.
Leibniz'in
düşlediği gibi bir kalküle ilk örnek, Boole'un
cebirsel kalkülü oldu.
Klasik mantık
günlük dile dayalı olması nedeniyle kısmen semboliktir; oysa lojistik, hiçbir
içeriksel örneğe yer vermeyen, günlük dilden apayrı bir formel/sembolik dil
geliştirmesi nedeniyle tamamen semboliktir.
Lojistik
(sembolik mantık) yeni bir mantık değildir.
Mantık, tüm
insanlar için geçerli düşünme ilke ve formlarının ve bunların dilsel
kalıplarının öğretişidir. Bu demektir ki, tek mantık vardır. (s. 229)
Önermeler Kalkülünün Kuruluşu
Önermeler
kalkülü, mantıksal değişmezlerin bir yorumuna ve bu yoruma bağlı olarak
geliştirilen doğruluk fonksiyonu tablosuna dayanır.
Mantıksal
değişmezler lojistikte iki grupta toplanırlar:
a) "Değil",
"ve", "veya",
"ise", "ancak
ve ancak... ise" bağlaçları, bileşik önermelerin kurulmasında iki
veya daha fazla basit önermeyi birbirine eklediklerinden önerme eklemleri
adını alırlar.
b) "Tüm",
"bazı", "hiç",
"hiçbir" gibi sözcükler, bir önermenin
niceliğini belirttiklerinden niceleyici adını alırlar.
Lojistikte basit
önermeler p, q, r gibi harflerle sembolleştirilir.
"Bugün hava
kapalı ise yağmur yağacak" şeklinde bir bileşik önerme, "ise"
eklemi (⇒) ile
gösterilerek, "p⇒q"
formunda simgeleştirilebilir.
Lojistiğin
sembolik dili, yaşayan dil karşısında donuklaştırılmış ve kısırlaştırılmış bir
görünüme sahiptir.
Önerme eklemleri ve sembolleri:
Değil = ~
Ve = ∧
Veya = ∨
İse = ⇒
Ancak ve ancak = ⇔
Lojistik
kalkülün temeli, doğruluk fonksiyonudur.
Bileşik
önermelerin doğruluk fonksiyonları, Frege'nin
ayrıştırma kuralı adını verdiği bir kurala göre saptanır. Bileşik önermelerin
doğruluk değeri, önermeyi oluşturan basit önermelerin/bileşenlerin doğruluk
değerine bağlıdır.
İki önermeyi
"ve" (∧
) eklemi ile birbirine bağladığımızda, meydana gelen bileşik önermenin (p ∧ q) doğruluğu, artık p ve q'nun ayrı ayrı
doğruluk değerlerinin bir fonksiyonu olur.
(p ∧ q) bileşik
önermesi, ancak ve ancak, p ve q'nun aynı zamanda her birinin doğru olması
halinde doğru olacağından, birlikte evetleme veya tümel evetleme önermesi
adını alır.
Seçeneklilik
(altemation) lojistikte tikel
evetleme olarak adlandırılır. Seçeneklilik
(tikel evetleme), (pVq) biçiminde yazılır ve "p veya q" diye
söylenir.
Sembolik dilde,
iki seçenekten her ikisinin veya seçeneklerden birinin doğru olması halinde, "pVq"
önermesinin doğru olacağını kabul edilir. Görüldüğü gibi, burada olgusal durum
ile aynı olgusal durumun mantıksal yorumu arasında bir fark ortaya çıkmaktadır.
Koşul bildiren
"ise" (⇒)
ekleminin anlamı konusunda da, günlük dil ile sembolik dil arasında farklılık
vardır.
Koşul önermesi,
ardbileşeninin yanlış, önbileşeninin doğru olması halinde yanlış, diğer
hallerde doğru kabul edilir.
Buna göre, "Bal
tatlı ise üçgen üç kenarlıdır." bileşik önermesi, her iki bileşeninin de
doğru olması nedeniyle doğru sayılır.
Karşılıklı koşul
bildiren "ancak ve ancak... ise" (⇔) ekleminin anlamı konusunda günlük dil ile
sembolik dil arasında farklılık yoktur. Her
iki bileşeninin aynı anda doğru veya aynı anda yanlış olması halinde doğru,
diğer hallerde yanlış sayılır.
Değilleme,
olumlu veya olumsuz bir basit önermenin bildirdiğinin inkâr edilmesidir. Günlük
dilde "değil" sözcüğüyle ifade edilir.
Değilleme eklemi
(~) sembolüyle gösterilir.
Değilleme Eklemi (~)
Tümel Evetleme Eklemi (Λ)
Tümel evetleme önermelerinde bileşik yapının doğruluğu, bileşenlerin
tamamının doğru olmasına bağlıdır.
|
p
|
q
|
pΛq
|
|
D
|
D
|
D
|
|
D
|
Y
|
Y
|
|
Y
|
D
|
Y
|
|
Y
|
Y
|
Y
|
Tikel Eveleme Eklemi (V) / Seçeneklilik
|
p
|
q
|
pvq
|
|
D
|
D
|
D
|
|
D
|
Y
|
D
|
|
Y
|
D
|
D
|
|
Y
|
Y
|
Y
|
Koşul Eklemi (⇒)
Koşul
önermesinde, önbileşenin doğru ve ardbileşenin yanlış oldukları durumda önerme
yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
|
p
|
q
|
p⇒q
|
|
D
|
D
|
D
|
|
D
|
Y
|
Y
|
|
Y
|
D
|
D
|
|
Y
|
Y
|
D
|
Karşılıklı Koşul Eklemi (⇔)
Karşılıklı koşul
önermesinde, bileşenlerin her ikisi aynı anda doğru veya aynı anda yanlışsa
önerme doğru, diğer hallerde yanlıştır.
|
p
|
q
|
p⇔q
|
|
D
|
D
|
D
|
|
D
|
Y
|
Y
|
|
Y
|
D
|
Y
|
|
Y
|
Y
|
D
|
Bileşik önermelerin doğruluk
fonksiyonları:
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
pΛq
|
pvq
|
p⇒q
|
p⇔q
|
|
D
|
D
|
Y
|
Y
|
D
|
D
|
D
|
D
|
|
D
|
Y
|
Y
|
D
|
Y
|
D
|
Y
|
Y
|
|
Y
|
D
|
D
|
Y
|
Y
|
D
|
D
|
Y
|
|
Y
|
Y
|
D
|
D
|
Y
|
Y
|
D
|
D
|
Bir bileşik
önermede (n) adet önerme eklemi varsa, bu önermenin alacağı doğruluk
değerlerinin sayısı 2n olur.
Lojistikte sembolleştirme
işlemi, üç aşamalı bir işlem olarak karşımıza çıkar:
1) Önerme
sembolleri: Basit önermeler p, q, r, s, t vb. harflerle sembolleştirilir.
2) Önerme
eklemleri: Önerme eklemleri ~, ∧, ∨,
⇒, ⇔ işaretleriyle
sembolleştirilir.
3) Parantezler:
Bir veya birden fazla bileşik önermeden bir önerme eklemi ile yeni bir bileşik
önerme meydana getirilirken, önceki önermeler paranteze alınır. (s. 240)
Doğruluk Fonksiyonu Mantığında Denetleme
Doğruluk
tabloları veya çözümleyici çizelgeler aracılığıyla mantıksal çıkarımların
denetlemesi yapılabilmektedir.
Bir Önermenin Tutarlılığı
En az bir
doğrulayıcı yorumu bulunan önermeler tutarlı
(satisfiable), hiçbir doğrulayıcı yorumu bulunmayan önermeler tutarsızdır.
Biren fazla
önermenin birbiriyle tutarlı olup olmadığı denetlenirken; önce, önermeler
bileşenlerine ayrılır. Bileşenlerin (her bir önermenin) doğruluk değerleri
bulunur. Verilen önermelerin aynı anda (yatay sırada) doğru yapan ortak
doğrulayıcı bir yorum olup olmadığına bakılır, yatay sırada aynı satırda doğru
değerleri eşleşiyorsa, önermeler birbirleriyle tutarlıdır.
p⇔~q, ~p⇒q, p∨q önermelerinin
birbirleriyle tutarlılığının denetlenmesi:
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p⇔~q
|
~p⇒q
|
p∨q
|
|
D
|
D
|
Y
|
Y
|
Y
|
D
|
D
|
|
D
|
Y
|
Y
|
D
|
D
|
D
|
D
|
|
Y
|
D
|
D
|
Y
|
D
|
D
|
D
|
|
Y
|
Y
|
D
|
D
|
Y
|
Y
|
Y
|
Önermeler, en az
bir satırda doğru yorumu olduğu için tutarlıdırlar.
Önermelerin Eşdeğerliği
İki önermenin
doğruluk değerleri aynı ise, aynı doğruluk değerlerini almışlarsa bu önermeler eşdeğer önermelerdir.
Önermelerin Geçerliliği
Bir önermenin
yanlışlayıcı yorumu yoksa, bütün yorumları doğru değerini almışsa, o önerme geçerli önermedir.
Geçerli
önermeler totolojilerdir. “A, A’dır” biçiminde özetlediğimiz bütün totolojiler
geçerli önermelerdir.
Çıkarımların Geçerliliği
Bir çıkarımın
geçerli olmasının koşulu, öncüllerin doğru olması halinde sonucun da doğru
olmasıdır. Öncüllerin birlikte doğru olması demek, öncülleri tümel evetleme
önermesi bileşenleri halinde değerlendirmek demektir. Bu durumda elde edilen
tümel evetleme önermesi, sonuç önermesinin koşulu durumundadır.
Özetle: bir
çıkarımın geçerliliğini denetlenmek için öncüller birbirlerine (∧) eklemi
ile bağlanır. Elde edilen tümel evetleme önermesi, sonuç önermesine (⇒)
eklemiyle bağlanır. Koşul önermesi geçerli ise, çıkarım da geçerlidir.
Bir çıkarımın geçerli olması için, öncüllerinin doğru olması
halinde sonucun da doğru olması gerekir. Bu demektir ki, bir çıkarımın geçerli
olması için, bütün öncüllerini doğru fakat sonucunu yanlış kılan bir yorumunun
bulunmaması gerekir. Buna göre, bir çıkarımın geçerliliğini denetlemek için,
çıkarımın öncülleri ile sonucunun değillemesinin tutarlı olup olmadıkları
denetlenir.
Önermeler tutarsız ise çıkarım geçerli olur. Önermeler tutarlı
ise çıkarım geçersizdir.
Çözümleyici Çizelge Kuralları
Önemenin veya
çıkarımın bileşen sayısı ve eklem sembolleri arttıkça, doğruluk tablosu ile
denetleme zorlaşmaktadır. Bu
nedenle lojistikte, çözümleyici çizelge adı verilen daha kolay bir denetleme
yöntemi geliştirilmiştir. Çözümleme çizelgesi prensip olarak, çizelgede bir
önermenin sadece doğruluk koşulunun gösterilmesi esasına dayanır. Çözümleme
tablosunda doğru ve yanlış yorumlamaların tamamına yer verilirken, çözümleme
tablosunda sadece doğru yorumlamalar gösterilir.
Tümel Evetlemenin Çözümleme Kuralı
p ∧ q tümel evetleme önermesi ancak ve anca
her iki önerme doğru olduğunda doğru kabul edilir.
Çözümleyici
çizelgede bu iki önerme aralarında dikey bir çizgi olduğu halde alt alta
yazılarak gösterilir:
p ∧ q
p
│
q
Bu sembolik
ifade, tümel evetleme önermesinin doğruluk koşulunun her iki bileşenin de doğru
olması koşuluyla mümkün olduğunu gösterir.
Tümel Evetlemenin Değillemesinin
Çözümleme Kuralı
~ (p ∧ q) önermesi, p ∧ q önermesinin yanlış yapan koşulu içeriyor
demektir. Tersinden söylenirse, p ∧
q önermesini yanlış yapan koşul, ~(p ∧
q) önermesini doğru yapan koşuldur.
p ∧ q önermesinin yanlış olması için, ~ p:D
ve ~q:D olmalıdır ki, bu aynı zamanda, p:Y veya q:Y demektir.
~(p ∧ q) = ~pV~q eşdeğerliliğine dayanarak
tümel evetlemenin değillemesinin çözümleme kuralını şu şekilde gösteririz:
~(p
∧
q)
∧
~ p
~q
Tikel Evetlemenin Çözümleme Kuralı
p V q
önermesinin doğruluğu, bileşenlerden birinin doğru olmasına bağlıdır (ya p=D ya
da q=D). Çözümleme kuralına göre, önermenin altına bir çatal açılarak p ve q
önermeleri bu çatalın uçlarına yazılır.
p V q
∧
p
q
Tikel Evetlemenin Değillemesinin
Çözümleme Kuralı
~ (pVq)
önermesi, pVq önermesini yanlış yapan koşulu içeriyor demektir. pVq önermesini
yanlış yapan koşul, ~ (pVq) önermesini doğru yapan koşuldur. pVq önermesinin
yanlış olduğu tek durum ise, hem p ve hem q'nun aynı anda yanlış oldukları
durumdur. Demek ki, ~(pVq)
önermesinin doğruluğu, "hem ~p ve hem ~q'nun doğru" olmasına
bağlıdır.
~(pVq) = ~p A ~q
eşdeğerliğine dayanarak, tikel evetlemenin değillemesinin çözümleme kuralını şu
şekilde gösteririz:
~ (pVq)
~p
│
~q
Koşul Önermesinin Çözümleme Kuralı
p ⇒ q önermesi, önbileşeninin doğru,
ardbileşeninin yanlış olması halinde yanlış, diğer tüm hallerde doğrudur. O
halde bu önerme, önbileşeninin değillemesinin doğru veya ardbileşeninin
kendisinin doğru olacağı bir tikel evetleme önermesine dönüştürülebilir.
p ⇒ q önermesinin doğruluk koşulu, buna
göre, p'nin yanlış, q'nun doğru olduğu bir tikel evetleme önermesinin doğruluk
koşuludur.
p ⇒ q = ~pVq eşdeğerliğine dayanarak, koşul
önermesinin çözümleme kuralını
p
⇒ q
∧
~p q
Koşulun Önermesinin Değillemesinin
Çözümleme Kuralı
~ (p ⇒ q) önermesinin doğruluğu, p ⇒ q Önermesini yanlış kılan yorumun doğru
olmasına bağlıdır, p ⇒
q önermesini yanlış kılan tek yorum p:D ve q:Y konumunda ortaya çıkar.
~ (p ⇒ q) = p ∧ ~q eşdeğerliğine dayanarak, koşul önermesinin
değillemesinin çözümleme kuralını şu şekilde ifade ederiz:
~ (p ⇒ q)
p
│
~q
Karşılıklı Koşulun Çözümleme Kuralı
p ⇔ q önermesinin doğruluğu iki seçeneğe
göre belirlenebilir. Bu seçeneklerden birincisi, p:D ve q:D, ikincisi ise p:Y
ve q:Y şeklinde ifade edilebilir.
"ya p:D ve
q:D ya da ~ p:D ve ~ q:D" diyebiliriz. "Ya, ya da" kalıbı bir
seçenek bildirdiğine göre, burada çatala başvurmamız gerekir. Ancak bu defa çatalın
her iki ucunda da birer tümel evetleme önermesi yer alacaktır:
p
⇔
q
∧
p ~p
│ │
q ~q
Karşılıklı Koşul Önermesinin
Değillemesinin Çözümleme Kuralı
~(p ⇔q) önermesinin doğruluğu, p ⇔ q önermesini yanlış kılacak yorumu
gerektirir.
~(p ⇔ q) önermesi
(p ∧~q) V (~p ∧ q) önermesi ile eşdeğerdir. ~(p ⇔ q) = (~p ∧ q) V (~p ∧ q) eşdeğerliğine dayanarak, karşılıklı
koşul önermesinin değillemesinin çözümleme kuralını şu şekilde gösteririz:
~(p
⇔
q)
∧
p ~p
│ │
~q q
De Morgan Kuralları
Çözümleyici
çizelgenin oluşturulmasında bir önermenin eşdeğeri olan başka bir önermenin
bilinmesi/bulunması çok önemlidir. Çözümleme kurallarının elde edilmesinde
ortaya çıkan eşdeğerlikler De Morgan Kuralları başlığı altında ele alınır.
~(p V q) ≡
~p ∧
~q
~(p ∧ q) ≡
~p V ~q
p ⇒ q ≡ ~p V q
~(p ⇒ q) ≡ p ∧~q
p ⇔ q ≡
(p ∧
q) V (~p ∧
~q)
~(p ⇔ q ) ≡ (p
∧
q) V (~p ∧
q)
Çözümleme Kuralları Tablosu
Tümel Evetleme
p ∧ q
p
│
q
Koşulun Önermesinin Değillemesi
~ (p ⇒ q)
p
│
~q
Tikel Evetlemenin Değillemesi
~ (pVq)
~p
│
~q
Tikel Evetleme
p V q
∧
p
q
Koşul Önermesi
p ⇒ q
∧
~p q
Tümel Evetlemenin Değillemesi
~(p ∧ q)
∧
~ p
~q
Karşılıklı Koşul Önermesi
p ⇔ q
∧
p ~p
│ │
q ~q
Karşılıklı Koşul Önermesinin Değillemesi
~(p ⇔ q)
∧
p ~p
│ │
~q q
Bir Önermenin Tutarlılığı
En az bir
doğrulayıcı yorumu olan önermelere tutarlı, hiçbir doğrulayıcı yorumu olmayan
önermelere tutarsız denilir.
Çözümleyici Çizelge ile Denetleme
a) Çözümlenecek
önerme başa yazılır ve yanına, çözümlenecek önerme olduğunu göstermek üzere (Ö)
harfi konur.
Örnek önerme: (~pVq)
∧ (p ∧ q)
(~pVq) ∧
(p ∧ q) (Ö)
b) Önermenin ana
eklemi bulunur ve bu eklemin çözüm kuralına göre çözümleme yapılır. Örnek
önermenin ana eklemi tümel evetlemedir (∧).
Dolayısıyla çengel açarak çözümleme yapılır. Çözümlemede ilk işlemimizin olduğunu
göstermek amacıyla, çengelin yanına ve ayrıca çözümlemiş olduğumuz örnek
önermemizin önüne (1) sayısı konur.
1. (~pVq) ∧ (p ∧
q) (Ö)
~ (pVq)
│(1)
p ∧
q
c) Çengelin iki
ucunda örnek önermemizin bileşenleri olarak yer alan önermelerinin de
çözümlenmesi gerekir.
Burada dikkat
edilecek olan husus şudur: ~pVq önermesi çatal açma kuralına göre, p ∧ q önermesi ise alt alta yazma kuralına göre
çözümlenecektir.
Kısalık ve
sadelik sağlamak bakımından, önce alt alta yazma kuralına göre çözümlenmesi
gereken önermeden işe başlanmalıdır. Böyle olunca, (2) numaralı çözümleme
işlemimiz, p ∧ q
önermesini çözümlemek olacaktır. (2) sayısını önce bu önermenin önüne, daha sonra
çözümlenmiş şeklinin yanına koymayı unutmamalıyız.
1. (~pVq) ∧ (p ∧
q) (Ö)
~ (pVq)
│(1)
2. p ∧ q
p
│(2)
q
d) 3. işlem, p V
q önermesinin çatal açılarak çözümüdür:
1. (~pVq) ∧ (p ∧
q) (Ö)
~ (pVq)
│(1)
2. p ∧ q
p
│(2)
q
∧ (3) 3 rakamı çatalın içine yazılır.
~p q
e) Önerme en
basit bileşenine varıncaya kadar çözümlenmiştir. Şimdi yapacağımız iş,
önermenin tutarlılığını denetlemektir.
Bir çözümleyici
çizelge ile elde edilen yollar çelişmeli ve çelişmesiz olmak üzere ayrılır.
Aynı yol üzerinde birbiriyle çelişen iki basit önerme (p ve ~p veya q ve ~q)
varsa, bu yol çelişmeli demektir. Çelişmeli olan yola kapalı yol da denir ve bu
yolun altına (X) işareti konur. Bu bize önermenin doğrulayıcı yorumunun
olmadığını gösterir. Çelişmesiz olan yola açık yol denir ve bu bize önermenin
(Ö) doğrulayıcı yorumu olduğunu gösterir. Açık yolun önüne herhangi bir işaret
konulmaz.
1. (~pVq) ∧ (p ∧
q) (Ö)
~ (pVq)
│(1)
2. p ∧ q
p
│(2)
q
∧ (3) 3
~p q
X tutarlı
3. işlem
sırasındaki ~p bileşeni işlem sırasının 2. basamağındaki p bileşeniyle
çelişmekte olduğu için bu yol kapalıdır. Çatalın diğer ucundaki q bileşeni ise
işlem sırasının 2. basamağındaki q bileşeni ile çelişmediği için önerme tutarlıdır.
Birden Fazla Önermenin Birbirleriyle
Tutarlılığı
Birden fazla
önermenin birbirleriyle tutarlı olması, bu önermeleri birlikte doğru kılan bir
ortak doğrulayıcı yorumun bulunmasına bağlıdır.
Çözümleyici
çizelgede birden fazla önermenin birbirleriyle tutarlığını denetlemek için,
önce verilen önermeler alt alta yazılır; her birinin ardına (Ö) harfi konur. Önermeler,
"önce çengel, sonra çatal" sırası izlenerek tek tek çözümlenir.
Çözümleme sonunda,
tek bir açık yol bile varsa, önermelerin bir ortak doğrulayıcı yorumu var
demektir.
Örnek soru: p ⇒ q, p ∨ ~q
Burada her iki
önerme de çatal açmayı gerektirmektedir. İşleme herhangi birinden
başlayabiliriz. Ancak burada dikkat edilecek olan husus şudur: İkinci önerme,
birinci önermenin çözümlenmiş halini gösteren çatalın her iki ucunda da aynı
anda çözümlenecektir.
Örnek soru: p ⇒ q, ~(~p ∨ ~q), ~(p ⇒ ~q)
Önermenin Geçerliliği
(devamı eklenecek)
