Mantığın Gelişimi - Çağdaş Mantık

Çağdaş Mantık

Geliştirilen çok sayıdaki mantık sistemi, bu sistemlerin hangisinin felsefe, matematik veya kuramsal bilgisayar bilimi için uygun mantık sistemi olduğu (Eğer böyle bir tek mantık sistemi varsa!) tartışmasını doğurmuştur. Bu tartışma çağdaş mantık felsefesinin en önemli sorusudur.

19. yüzyılın sonunda matematiğin temelleri üzerine yapılan çalışmalar, Aristoteles mantığının dışına çıkmayı mümkün kılmıştır.

20. ve 21 yüzyılda mantık sadece matematikle değil, yeni ortaya çıkan kuramsal dilbilim, kuramsal bilgisayar bilimi gibi araştırma alanlarıyla da etkileşimli olarak ilerlemiştir.

Frege’nin Mantıkçı Matematik Görüşü

Yaygın kanıya göre doğru matematik önermeleri aynı zamanda hem zorunlu (yani deneyimle yanlışlanamayan) hem de dünya hakkında bilgi veren önermelerdir. Bunun nasıl olanaklı olduğu matematik felsefesinde ortaya çıkan ilk sorulardan biridir.

Kant ve onun yaklaşımını izleyen düşünürlere göre, doğru matematik önermelerin zorunlu olması usun yapısından kaynaklanmaktadır. Bu önermelerin zorunlu olmalarının nedeni bizim olanaklı deneyimimizin sınırlarını belirleyen a priori zaman ve uzam sezgilerimize dayanmalarıdır.

Frege geometri doğruları için bu Kantçı tutumu kabul etmiştir. Aritmetiğe gelince, çalışmalarının son dönemine kadar aritmetik doğrularının analitik doğrular olduğunu savunmuştur. Frege için bir doğru önermenin analitik olması, o önermenin tanımlar ve mantıksal çıkarım kuralları ile elde edilebilmesi demektir.

Frege’nin Mantık Sistemi

Aritmetiği mantığa indirgemek üzere çalışmalar yapan Frege, Beggriffschrift’de önermeler mantığının ve birinci basamak niceleme mantığının ilk tam belitsel sistemini ortaya koymuştur.

Frege’nin de kabul ettiği evrenselci mantık anlayışına göre mantık konuağımsızdır ve bu sayede her konuya uygulanabilir.

Aritmetikteki fonksiyon sembollerinin özelliği tek başına tam bir deyim oluşturamamalarıdır: “+” tek başına tamamlanmış bir deyim değildir yani, Frege’nin deyişiyle doymamış bir deyimdir. Bazı semboller, örneğin “2” gibi ad sembolleri ise tek başına anlamlı, tam ya da Frege’nin deyişiyle doymuş deyimlerdir.

Bugünkü yaygın mantığın gösterimi ile karşılaştırıldığında Beggriffschrift sisteminin dilinin en dikkat çeken özelliği önermelerin 2 boyutlu (şema ile göstermek) bir gösterimle sunulmasıdır. Bugün kullandığımız mantık gösterimi ise 1 boyutludur (sembol dizgeleri biçiminde göstermek) yani önermeler yan yana yazılan sembol dizilerinden oluşmaktadır.

Beggriffschrift sistemi sayı kavramını Frege’nin istediği gibi, mantık kavramlarına başvurarak tanımlamaya yeterli olmamıştır. Ancak bu sorunun çözünü için başlayan çalışmalar, çağdaş mantığın gelişmesini sağlamıştır.

Russell’ın Çalışması

Russell’da, Frege gibi, mantıkçı bir görüş benimsemekte ve “arı matematiğin tümünün arı mantık ilkelerinden çıktığını ve mantık terimleriyle tanımlanabilen kavramlara başvurduğunu” savunmaktadır.

Russell Matematiğin İlkeleri üzerine çalışırken her özelliğin bir küme belirlediği varsayımına dayanan naif küme kuramının bir çatışkıya yol açtığını fark etmiştir. Gerçekten, eğer her bir özellik için, o özelliği taşıyan nesneler topluluğunun bir küme oluşturduğunu kabul edersek kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerden oluşan topluluğu da bir küme saymamız gerekir. Russell kümesi olarak adlandıracağımız bu kümeyi küme kuramının sembolik dilinde {x: x  g x} biçiminde gösterebiliriz.

Russell kümesi kendisinin bir elemanıdır ancak ve ancak kendisinin bir elemanı değil ise.

Russell bu çatışkının bir benzerinin Frege’nin mantık sisteminde ortaya çıktığını farkederek bunu Frege’ye yazdığı bir mektupla bildirmiştir (Russell çatışkısı).

Russell’ın Russell çatışkısına çözümü tipler kuramını geliştirmek olmuştur.

Russell bağıntılar mantığının kullanışlı bir sistem olmasını engelleyen sınırlılıklarını aşarak genelleştirmeyi başarmıştır.

Russell’ın çağdaş mantığın yaygın kullanımı açısından büyük önem taşıyan bir başarısı niceleme mantığının gösterimini (notasyonunu) daha kolay anlaşılır hâle getirmesidir (2 boyutlu gösterimden tek boyutlu gösterime geçmiş).

Niceleme mantığının felsefedeki en iyi bilinen etkili uygulama denemelerinden biri, Russell’in belirli betimleme önermelerini çözümlemesidir. Belirli betimlemeler gündelik dilin sözdiziminde özel adlarla aynı işleve sahip gözükmektedir.

Genel olarak Russell’ın çözümlemesine göre, “F olan biricik şey G dir” önermesinin niceleme mantığının sembolik dilindeki karşılığı aşağıdaki gibidir:

(*) 7x (Fx ∧ Gx ∧6y (Fy → y = x))

Görüldüğü gibi, Russell’ın çözümlemesinin sonucunda “F olan biricik şey G dir” önermesi özne-yüklem önermesi biçimini yitirip bir tikel genelleme önermesi ile temsil edilmektedir.

Sonuç olarak, F olan hiçbir şey olmadığında (*) sembolik nicelemeli önermesinin Russell’a göre temsil ettiği “F olan biricik şey G dir” önermesi de yanlış olur.

Bu çok önemli, çünkü bu sayede gerçek/reel dünyada, duyu alanında olmayan şeyleri özne/nesne kategorisinin dışına atmış oluyoruz. Yani metafizik, çöpe gidiyor.

Gödel ve Matematiğin Sınırları

Tamlık Teoremi: Hilbert ve Ackerman ilk kez 1928’de yayımlanan Grundzüge der Theoretischen Logik (Matematiksel Mantığın İlkeleri) içinde, birinci-basamak mantık için bir belit sistemi ortaya koymuştur. Bu sistemin dilinin alfabesi şu sembolleri içermektedir.

• Önerme değişkenleri X, Y, Z,...

• Birey değişkenleri x, y, z,...

• Bağıntı sembolleri F, G, H,...

• Önerme eklemleri: ~ (değilleme eklemi), ∨ (tikel-evetleme eklemi)

• Niceleyiciler: ∀ (tümel niceleyici), Ǝ (tikel niceleyici)

A) Sistemin belitleri

• X ∨ X → X

• X → X ∨ Y

• X ∨ Y→ Y ∨ X

• (X → Y) → ((Z ∨ X) → (Z ∨ Y))

• ∀ x Fx → Fx

• Fx → Ǝ x Fx

Eksiklik Teoremleri: Hilbert programı matematiksel analizin tutarlılığını sadece sonlu kanıtlamalara başvurarak göstermeyi amaçlamaktaydı. Gödel matematiksel analizin temelini oluşturan aritmetiğin tutarlılık sorununun bile bu yolla çözülemeyeceğini göstermiştir.

Çeşitli Mantık Sistemlerinin Gelişmesi

Kipli mantık sistemlerinin doğmasının ardında gündelik dilde “ise” koşul ekleminin yaygın mantıkta kimi zaman “zayıf gerektirme” diye adlandırılan yorumuna yönelik eleştiriler yatmaktadır. Örneğin, koşul ekleminin tanımı gereği:

1. Ön-bileşen (A) yanlış bir önerme olduğunda, art-bileşen (B) hangi önerme olursa olsun, A → B koşul önermesi doğrudur.

2. Art-bileşen (B) doğru bir önerme olduğunda, ön-bileşen (A) hangi önerme olursa olsun, A → B koşul önermesi doğrudur.

Clarence Irving Lewis’in çalışmaları çağdaş kipli mantık sistemlerinin gelişiminin ilk adımı olmuştur. Çalıştığı kipli mantık sisteminde olanaksızlık ile

yanlışlığın denk olduğunu ortaya koymuştur.

Çağdaş mantıkçılar arasında kipli mantık için kullanışlı ve sağduyusal bir yorum (semantik) geliştirmeyi ilk başaran Rudolf Carnap’tır. Carnap mantıksal zorunluluk kavramını geçerlilik kavramı ile aynı anlama gelecek biçimde tanımlamaktadır.

Çağdaş mantıkta kipli önermelerin yorumlanması konusunda en önemli adım Saul Kripke’nin olanaklı dünya semantiğini geliştirmesidir. Kripke semantiği ile kiplerin kolayca kavranan bir formel yorumlamaya kavuşmaları kipli mantık sistemlerine özellikle çözümlemeli felsefe ve kuramsal bilgisayar bilimi alanlarında yaygın olarak başvurulmasını sağlamıştır.

---

Mantığın Gelişimi

Doç. Dr. İskender Taşdelen

Anadolu Üniversitesi Yayını, Yayın Nu: 2424

Ocak 2013, Eskişehir